القيم القصوى :
1) اختر الإجابة الصحيحة :
القيمة العظمي للدالة د ( س ) = س3 -3س علي ] صفر ، 2 [ هي
( أ ) -2 ( ب ) صفر ( ج ) 1 ( د ) 2
2) القيمة الصغرى للدالة د ( س ) = س3 – 6 س2+ 9 س علي ] -1 ، 3 [
( أ ) -17 (ب ) 4 ( ج ) -16 ( د ) -20
3) أوجد القيم القصوى للدالة
د(س ) = 2 س3 + 6 س2 + 5 علي ] -1 ، 2 [
4) عين القيم القصوى للدالة
د ( س ) = 2س ( س-1 )2 علي ] -1 ، 2 [
السؤال الثاني :
1) حقق شروط نظرية رول للدالة د( س ) = س2 – 3 س + 2 علي ] 1 ، 2 [ ثم أوجد ( جـ ) التي تعينها النظرية .
2) حقق شروط نظرية رول للدالة د( س ) = س + 1/ س علي ] 0.5 ، 2 [ ثم أوجد ( جـ ) التي تعنيها النظرية .
3) لماذا لا تتحقق شروط نظرية رول علي الفترة ] ن ، و [ لكل من الأشكال التالية :
4) اختر الإجابة الصحيحة :
د ( س ) = ا س – 2 ا لا تحقق شروط نظرية رول علي ] صفر ، 4 [ لأن :
أ) د (صفر ) ≠ د ( 4 ) ب) د غير معرفة عند س = 2
ج) د غير قابلة للاشتقاق علي ( صفر ، 4 )
د) د غير متصلة علي ] صفر ، 4 [
نظرية القيمة المتوسطة :
1) أوجد جـ التي تعنيها نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = س - س علي ] 4 ، 9 [
2) تؤكد نظرية القيمة المتوسطة للتفاضل علي وجود نقطة محددة علي منحني الدالة د ( س ) = س بين النقطتين ( 1 ، 1 ) ، ( 49 ، 7 ) أوجد إحداثي هذه النقطة .
3) أكمل الفراغ التالي :
** قيمة جـ التي تحققها نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = - س2 علي ] -1 ، 1 [ هي .............................
5) اختر الإجابة الصحيحة :
قيمة جـ التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = س3 – 3س علي ] صفر ، 1 [ هي :
( أ ) ( ب ) ( ج ) ( د )
فترات التزايد والتناقص :
( الدوال المطردة )
( 1 ) د متصلة علي [ أ ، ب ] أكمل ما يلي :
** إذا كانت د ( س ) > صفر س ( أ ، ب ) فإن د ....... علي [ أ ، ب ]
** إذا كانت د ( س ) < صفر س ( أ ، ب ) فإن د ....... علي [ أ ، ب ]
( 2 ) أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة
د ( س ) = س3 – 9 س2 + 24 س +1 علي مجالها
( 3 ) ابحث اطراد الدالة :
د ( س ) = جا س س [ صفر ، ط ]
التقعر
1) أكمل العبارات التالية :
أولا : إذا كانت د ( س ) < صفر س ( أ ، ب )
فإن د مقعرة .....................علي ( أ ، ب )
ثانيا : إذا كانت د ( س ) > صفر س ( أ ، ب )
فإن د مقعرة ................ علي ( أ ، ب )
2) أختر الإجابة الصحيحة :
الدالة د ( س ) = س ( س – 3 )2 مقعرة لأعلي في الفترة
أ) ( 2 ، ) ب) ( ، 2 ) ج) ( 1 ، ) د) ( ، 1 )
3 ) ادرس تقعر الدالة د ( س ) =
وأوجد نقاط الانقلاب ( الانعطاف )
3) ادرس التقعر وبين نقاط الانقلاب للدالة د(س ) = س +
تصنيف النقاط الحرجة :
1) أكمل ما يلي :
أولا : إذا كانت جـ نقطة حرجة للدالة د وكانت دً( جـ ) > صفر
فإن د( جـ ) قيمة .................. محلية
ثانيا : إذا كانت جـ نقطة حرجة للدالة د وكانت دً ( جـ ) < صفر
فإن د ( جـ ) قيمة .......................... محلية
2) اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
إذا كان للدالة د( س ) = س2 + نقطة حرجة عند س = 1 فإن قيمة أ تساوي :
(أ ) -2 ( ب ) 2 ( ج ) 4 ( د ) 2
3) أوجد القيم القصوى المحلية للدالة :
د( س ) = 2 س3 – 9 س2 +12 س
4) أوجد القيم القصوى المحلية للدالة :
د ( س ) = 12 + 2س2 – س4
مستخدماً اختبار المشتقة الثانية
( 1 ) ارسم المنحني المتصل لدالة كثيرة الحدود المعرفة علي ح والتي تحقق الشروط التالية :
1) د(2 ) = د( 5 ) = صفر ، د( 0 ) = 20 ، د( 4 ) = 4 ، د( 3 ) =2
2) د (س ) > صفر عندما س < 4 أو س > 2
3) د( س ) < صفر عندما 2> س > 4
4) د ( س ) > صفر عندما س < 3
5) د ( س ) < صفر عندما س > 3
( 2 ) ارسم منحني الدالة د ( س ) = 6 س2 – س4 -5
مع توضيح خطوات الحل
مسائل القيم القصوى :
1) أوجد عددين موجبين مجموعهما 60 وحاصل ضرب أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن ؟
2)
أوجد س التي تجعل المقدار
ا أ جـ ا2 + ا جـ ب ا2 أصغر ما يمكن
3)
إذا كان 2س + ص = 800 م
أوجد س ، ص بحيث تكون مساحة الحقل أكبر ما يمكن .
الدوال الأصلية :
1) أوجد
2) إذا كانت ل( س ) = 4
أثبت أن ل دالة أصلية للدالة د في الفترة [ -1 ، صفر ]
3) أوجد
4) إذا كانت ل( س ) دالة أصلية للدالة د(س )
فأوجد ل ( س )
5) إذا كانت ل ( س ) دالة أصلية للدالة د ( س )
فأوجد ل ( س )
التكامل بالتعويض :
1) أوجد ( س +5 ) 1- س = س
2) أوجد 3 س +5 = س
3) أوجد
5) أوجد
6) أوجد
7) أوجد
أوجد
9) أوجد
تطبيقات علي التكامل غير المحدد
1) أوجد معادلة مجموعة المنحنيات التي ميلها س وأوجد معادلة المنحني من هذه المجموعة الذي يمر بالنقطة ( 9 ، 18 )
2) إذا كانت = 12 س2 – 2 أوجد معادلة المنحني علما بأنه يمر بالنقطة ( 1 ، 7 ) وميل مماسه عند هذه النقطة يساوي 7
3)أوجد دالة المسافة ف( ن ) لجسيم يتحرك بسرعة ع(ن ) 3 ن2- 2 ن +4 حيث الزمن ن إذا علمت أن ف (0 ) = 6
10) يتحرك جسيم من السكون في خط مستقيم بتسارع ت = 3 ن + 2 حيث ن هو الزمن بالثواني فإذا كانت سرعة الجسيم بعد 5 ثواني تساوي 10 م/ ث فأوجد إزاحة الجسيم بعد 8 ثواني من بدء الحركة .
مساحات بعض المناطق المستوية
1) اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني ص = 1 – س2 ومحور السينات تساوي
أ ) 3 وحدات مربعة ب) 4 وحدات مربعة
ج) ¾ وحدة مربعة د) 4/3 وحدة مربعة
2) احسب المساحة المحصورة بين المنحني ص = س2 ومحور السينات والمستقيمين س = صفر ،
ص = 3
3)أوجد المساحة المحصورة بين المنحنيين :
ص = 6 س – س2 ص = 2 س
11) أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين
ص = 8 – س2 ، ص = س2
والمستقيمين س = صفر ، س = 1
حجوم الأجسام الدورانية
1) اختر الاجابة الصحيحة فيما يلي :
حجم الجسم الدوراني الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين المنحني ص = س ومحور السينات علي الفترة [ 0 ، 3 ] = ..............
أ ) 6 طـ وحده مكعبة ب) 18 طـ وحدة مكعبة
ج) 9 طـ وحده مكعبة د) 3 طـ وحدة مكعبة
2) أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة الواقعة بين المنحنيين ص = س2 ،
ص = - س2 + 2 دورة كاملة حول محور السينات .
3 ) أوجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين المنحنيين ص = 4 س
، ص = س2 دورة كاملة حول محور السينات
5) أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة تحت المنحني ص = حبا س وفوق
[ 0 ، ط/2 ] دورة كاملة حول المحور السيني .
المنشور
1) احسب المساحة الكلية لمنشور ثلاثي منتظم طول ارتفاعه 10 سم وطول ضلع قاعدته 6 سم
2) منشور مائل قاعدته علي شكل سداسي منتظم مساحتها سم2 وطول حرفه الجانبي 10سم ويميل علي مستوي القاعدة بزاوية قياسها 60
احسب مساحة المقطع القائم لهذا المنشور ؟
3) منشور حجمه 280 سم3 قاعدته مربعة الشكل تميل احرفه الجانبية علي مستوي قاعدته بزاوية قدرها 30 احسب طول ضلع القاعدة عندما يكون طول الحرف الجانبي 10 سم
1) هرم رباعي ناقص قائم ارتفاعه 8 سم والقاعدتان مربعان ضلعاهما 6 سم ، 18 سم
احسب حجم الهرم الناقص وحجم الهرم الكامل
2) اختر الإجابة الصحيحة :
*) حجم هرم رباعي الوجوه منتظم طول حرفه 1 سم وطول ارتفاعه سم يساوي
أ ) ب)
ج ) د )
*) حجم هرم ارتفاعه 16 سم وقاعدته معين طولا قطريه 6 سم ، 8 سم يساوي :
أ ) 182 ب) 128 ج) 812
1) اسطوانة دائرية قائمة النسبة بين مساحتها الجانبية وحجمها 1 : 10 أوجد :
( 1 ) طول نصف قطر القاعدة ( 2 ) المساحة الكلية للأسطوانة عندما ع = 40 سم
2) طول قطر اسطوانة دائرية قائمة = 14 سم وطول ارتفاعها 3 أمثال طول قطرها
احسب المساحة الكلية للأسطوانة ؟
3) احسب الحجم والمساحة الكلية لأسطوانة دائرية قائمة قطر قاعدتها 8 سم . وارتفاعها يساوي مربع نصف قطر قاعدتها
المخروط
1) مخروط دائري قائم طول قطر قاعدته 14 سم وطول راسمه 11 سم
احسب ارتفاعه وحجمه ومساحته الكلية ؟
2) احسب الحجم والمساحة الكلية لمخروط دائري قائم ارتفاعه 15 سم وطول قطر قاعدته 16 سم
3) احسب حجم مخروط دائري قائم ناقص ارتفاعه 8 سم وطولا قطري قاعدتيه 12 سم ، 20سم
4) مخروط دائري مائل ما حجمه إذا كان نصف قطر قاعدته 3.5 سم والبعد بين رأس المخروط ومركز القاعدة 120 سم وقياس الزاوية بين المحور والقاعدة 30 ( طـ = 22 / 7 )
الكرة
1) قطع نصف كرة بمستويين متوازيين البعد بينهما 1 سم فإذا كان نصفا قطري دائرتي المقطعين الناتجين 3 سم ، 4 سم فأحسب :
( 1 ) طول نصف قطر الكرة ( 2 ) حجم نصف الكرة
2) كرة قطرها 14 سم قطعت منها قبة كروية ارتفاعها 10 سم احسب حجم الكرة ومساحة القبة الكروية
3) كرتان حجم أحدهما يساوي 8 أمثال الأخرى
أثبت أن المساحة السطحية لأحدهما = ربع مساحة سطح الأخرى
1) اختر الإجابة الصحيحة :
القيمة العظمي للدالة د ( س ) = س3 -3س علي ] صفر ، 2 [ هي
( أ ) -2 ( ب ) صفر ( ج ) 1 ( د ) 2
2) القيمة الصغرى للدالة د ( س ) = س3 – 6 س2+ 9 س علي ] -1 ، 3 [
( أ ) -17 (ب ) 4 ( ج ) -16 ( د ) -20
3) أوجد القيم القصوى للدالة
د(س ) = 2 س3 + 6 س2 + 5 علي ] -1 ، 2 [
4) عين القيم القصوى للدالة
د ( س ) = 2س ( س-1 )2 علي ] -1 ، 2 [
السؤال الثاني :
1) حقق شروط نظرية رول للدالة د( س ) = س2 – 3 س + 2 علي ] 1 ، 2 [ ثم أوجد ( جـ ) التي تعينها النظرية .
2) حقق شروط نظرية رول للدالة د( س ) = س + 1/ س علي ] 0.5 ، 2 [ ثم أوجد ( جـ ) التي تعنيها النظرية .
3) لماذا لا تتحقق شروط نظرية رول علي الفترة ] ن ، و [ لكل من الأشكال التالية :
4) اختر الإجابة الصحيحة :
د ( س ) = ا س – 2 ا لا تحقق شروط نظرية رول علي ] صفر ، 4 [ لأن :
أ) د (صفر ) ≠ د ( 4 ) ب) د غير معرفة عند س = 2
ج) د غير قابلة للاشتقاق علي ( صفر ، 4 )
د) د غير متصلة علي ] صفر ، 4 [
نظرية القيمة المتوسطة :
1) أوجد جـ التي تعنيها نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = س - س علي ] 4 ، 9 [
2) تؤكد نظرية القيمة المتوسطة للتفاضل علي وجود نقطة محددة علي منحني الدالة د ( س ) = س بين النقطتين ( 1 ، 1 ) ، ( 49 ، 7 ) أوجد إحداثي هذه النقطة .
3) أكمل الفراغ التالي :
** قيمة جـ التي تحققها نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = - س2 علي ] -1 ، 1 [ هي .............................
5) اختر الإجابة الصحيحة :
قيمة جـ التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة للدالة د( س ) = س3 – 3س علي ] صفر ، 1 [ هي :
( أ ) ( ب ) ( ج ) ( د )
فترات التزايد والتناقص :
( الدوال المطردة )
( 1 ) د متصلة علي [ أ ، ب ] أكمل ما يلي :
** إذا كانت د ( س ) > صفر س ( أ ، ب ) فإن د ....... علي [ أ ، ب ]
** إذا كانت د ( س ) < صفر س ( أ ، ب ) فإن د ....... علي [ أ ، ب ]
( 2 ) أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة
د ( س ) = س3 – 9 س2 + 24 س +1 علي مجالها
( 3 ) ابحث اطراد الدالة :
د ( س ) = جا س س [ صفر ، ط ]
التقعر
1) أكمل العبارات التالية :
أولا : إذا كانت د ( س ) < صفر س ( أ ، ب )
فإن د مقعرة .....................علي ( أ ، ب )
ثانيا : إذا كانت د ( س ) > صفر س ( أ ، ب )
فإن د مقعرة ................ علي ( أ ، ب )
2) أختر الإجابة الصحيحة :
الدالة د ( س ) = س ( س – 3 )2 مقعرة لأعلي في الفترة
أ) ( 2 ، ) ب) ( ، 2 ) ج) ( 1 ، ) د) ( ، 1 )
3 ) ادرس تقعر الدالة د ( س ) =
وأوجد نقاط الانقلاب ( الانعطاف )
3) ادرس التقعر وبين نقاط الانقلاب للدالة د(س ) = س +
تصنيف النقاط الحرجة :
1) أكمل ما يلي :
أولا : إذا كانت جـ نقطة حرجة للدالة د وكانت دً( جـ ) > صفر
فإن د( جـ ) قيمة .................. محلية
ثانيا : إذا كانت جـ نقطة حرجة للدالة د وكانت دً ( جـ ) < صفر
فإن د ( جـ ) قيمة .......................... محلية
2) اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
إذا كان للدالة د( س ) = س2 + نقطة حرجة عند س = 1 فإن قيمة أ تساوي :
(أ ) -2 ( ب ) 2 ( ج ) 4 ( د ) 2
3) أوجد القيم القصوى المحلية للدالة :
د( س ) = 2 س3 – 9 س2 +12 س
4) أوجد القيم القصوى المحلية للدالة :
د ( س ) = 12 + 2س2 – س4
مستخدماً اختبار المشتقة الثانية
( 1 ) ارسم المنحني المتصل لدالة كثيرة الحدود المعرفة علي ح والتي تحقق الشروط التالية :
1) د(2 ) = د( 5 ) = صفر ، د( 0 ) = 20 ، د( 4 ) = 4 ، د( 3 ) =2
2) د (س ) > صفر عندما س < 4 أو س > 2
3) د( س ) < صفر عندما 2> س > 4
4) د ( س ) > صفر عندما س < 3
5) د ( س ) < صفر عندما س > 3
( 2 ) ارسم منحني الدالة د ( س ) = 6 س2 – س4 -5
مع توضيح خطوات الحل
مسائل القيم القصوى :
1) أوجد عددين موجبين مجموعهما 60 وحاصل ضرب أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن ؟
2)
أوجد س التي تجعل المقدار
ا أ جـ ا2 + ا جـ ب ا2 أصغر ما يمكن
3)
إذا كان 2س + ص = 800 م
أوجد س ، ص بحيث تكون مساحة الحقل أكبر ما يمكن .
الدوال الأصلية :
1) أوجد
2) إذا كانت ل( س ) = 4
أثبت أن ل دالة أصلية للدالة د في الفترة [ -1 ، صفر ]
3) أوجد
4) إذا كانت ل( س ) دالة أصلية للدالة د(س )
فأوجد ل ( س )
5) إذا كانت ل ( س ) دالة أصلية للدالة د ( س )
فأوجد ل ( س )
التكامل بالتعويض :
1) أوجد ( س +5 ) 1- س = س
2) أوجد 3 س +5 = س
3) أوجد
5) أوجد
6) أوجد
7) أوجد
أوجد 9) أوجد
تطبيقات علي التكامل غير المحدد
1) أوجد معادلة مجموعة المنحنيات التي ميلها س وأوجد معادلة المنحني من هذه المجموعة الذي يمر بالنقطة ( 9 ، 18 )
2) إذا كانت = 12 س2 – 2 أوجد معادلة المنحني علما بأنه يمر بالنقطة ( 1 ، 7 ) وميل مماسه عند هذه النقطة يساوي 7
3)أوجد دالة المسافة ف( ن ) لجسيم يتحرك بسرعة ع(ن ) 3 ن2- 2 ن +4 حيث الزمن ن إذا علمت أن ف (0 ) = 6
10) يتحرك جسيم من السكون في خط مستقيم بتسارع ت = 3 ن + 2 حيث ن هو الزمن بالثواني فإذا كانت سرعة الجسيم بعد 5 ثواني تساوي 10 م/ ث فأوجد إزاحة الجسيم بعد 8 ثواني من بدء الحركة .
مساحات بعض المناطق المستوية
1) اختر الإجابة الصحيحة فيما يلي :
مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني ص = 1 – س2 ومحور السينات تساوي
أ ) 3 وحدات مربعة ب) 4 وحدات مربعة
ج) ¾ وحدة مربعة د) 4/3 وحدة مربعة
2) احسب المساحة المحصورة بين المنحني ص = س2 ومحور السينات والمستقيمين س = صفر ،
ص = 3
3)أوجد المساحة المحصورة بين المنحنيين :
ص = 6 س – س2 ص = 2 س
11) أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين
ص = 8 – س2 ، ص = س2
والمستقيمين س = صفر ، س = 1
حجوم الأجسام الدورانية
1) اختر الاجابة الصحيحة فيما يلي :
حجم الجسم الدوراني الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين المنحني ص = س ومحور السينات علي الفترة [ 0 ، 3 ] = ..............
أ ) 6 طـ وحده مكعبة ب) 18 طـ وحدة مكعبة
ج) 9 طـ وحده مكعبة د) 3 طـ وحدة مكعبة
2) أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة الواقعة بين المنحنيين ص = س2 ،
ص = - س2 + 2 دورة كاملة حول محور السينات .
3 ) أوجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين المنحنيين ص = 4 س
، ص = س2 دورة كاملة حول محور السينات
5) أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة تحت المنحني ص = حبا س وفوق
[ 0 ، ط/2 ] دورة كاملة حول المحور السيني .
المنشور
1) احسب المساحة الكلية لمنشور ثلاثي منتظم طول ارتفاعه 10 سم وطول ضلع قاعدته 6 سم
2) منشور مائل قاعدته علي شكل سداسي منتظم مساحتها سم2 وطول حرفه الجانبي 10سم ويميل علي مستوي القاعدة بزاوية قياسها 60
احسب مساحة المقطع القائم لهذا المنشور ؟
3) منشور حجمه 280 سم3 قاعدته مربعة الشكل تميل احرفه الجانبية علي مستوي قاعدته بزاوية قدرها 30 احسب طول ضلع القاعدة عندما يكون طول الحرف الجانبي 10 سم
1) هرم رباعي ناقص قائم ارتفاعه 8 سم والقاعدتان مربعان ضلعاهما 6 سم ، 18 سم
احسب حجم الهرم الناقص وحجم الهرم الكامل
2) اختر الإجابة الصحيحة :
*) حجم هرم رباعي الوجوه منتظم طول حرفه 1 سم وطول ارتفاعه سم يساوي
أ ) ب)
ج ) د )
*) حجم هرم ارتفاعه 16 سم وقاعدته معين طولا قطريه 6 سم ، 8 سم يساوي :
أ ) 182 ب) 128 ج) 812
1) اسطوانة دائرية قائمة النسبة بين مساحتها الجانبية وحجمها 1 : 10 أوجد :
( 1 ) طول نصف قطر القاعدة ( 2 ) المساحة الكلية للأسطوانة عندما ع = 40 سم
2) طول قطر اسطوانة دائرية قائمة = 14 سم وطول ارتفاعها 3 أمثال طول قطرها
احسب المساحة الكلية للأسطوانة ؟
3) احسب الحجم والمساحة الكلية لأسطوانة دائرية قائمة قطر قاعدتها 8 سم . وارتفاعها يساوي مربع نصف قطر قاعدتها
المخروط
1) مخروط دائري قائم طول قطر قاعدته 14 سم وطول راسمه 11 سم
احسب ارتفاعه وحجمه ومساحته الكلية ؟
2) احسب الحجم والمساحة الكلية لمخروط دائري قائم ارتفاعه 15 سم وطول قطر قاعدته 16 سم
3) احسب حجم مخروط دائري قائم ناقص ارتفاعه 8 سم وطولا قطري قاعدتيه 12 سم ، 20سم
4) مخروط دائري مائل ما حجمه إذا كان نصف قطر قاعدته 3.5 سم والبعد بين رأس المخروط ومركز القاعدة 120 سم وقياس الزاوية بين المحور والقاعدة 30 ( طـ = 22 / 7 )
الكرة
1) قطع نصف كرة بمستويين متوازيين البعد بينهما 1 سم فإذا كان نصفا قطري دائرتي المقطعين الناتجين 3 سم ، 4 سم فأحسب :
( 1 ) طول نصف قطر الكرة ( 2 ) حجم نصف الكرة
2) كرة قطرها 14 سم قطعت منها قبة كروية ارتفاعها 10 سم احسب حجم الكرة ومساحة القبة الكروية
3) كرتان حجم أحدهما يساوي 8 أمثال الأخرى
أثبت أن المساحة السطحية لأحدهما = ربع مساحة سطح الأخرى
